2003年～2023年の21年分を分析
当ブログでは、2003年から2023年までの名古屋大学理系の入試数学を分析しています。
過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。
”確率”が出る確率は驚異の87.5%!?
名古屋大学の特徴として、整数分野の問題が多く出題されます。
2003年から2007年までは2004年のみでの出題でしたが、2008年から2023年の16年間でみてみると、、2017年・2022年を除いた14年間で出題されております。なので、14/16=0.875より、87.5%の確率で出題されているとわかります。
各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。
”整数”の効率な学習法提案
名古屋大学の整数分野の出題傾向はズバリ、
【他分野と絡めた問題が多い】です！
なので、他分野とどう絡めて出題されるのか、傾向を掴むために
【整数問題に取り組む前に、他分野の基礎を固める】ことをお勧めします！
| 年 | 問 | 問題文 |
| 2004 | 5 | 正の整数aとbが互いに素であるとき,正の整数からなる数列{xn}をx1=x2=1,xn+1=axn+bxn-1(n≧2)で定める.このときすべての正の整数nに対してxn+1とxnが互いに素であることを示せ. |
| 2008 | 4 | 次の問に答えよ.(1)3x+2y≦2008を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ.(2)x/2+y/3+z/6≦10を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の個数を求めよ. |
| 2009 | 5 | x,yを正の整数とする.(1)2/x+1/y=1/4をみたす組(x,y)をすべて求めよ.(2)pを3以上の素数とする.2/x+1/y=1/pをみたす組(x,y)のうち,2x+3yを最小にする(x,y)を求めよ. |
| 2010 | 4 | xy平面上で座標と座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.(1)y=(1/3)x^2+(1/2)xのグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ.(2)a,bは実数でa≠0とする.y=ax^2+bxのグラフ上に,点(0,0)以外に格子点が2つ存在すれば,無限個存在することを示せ. |
| 2011 | 4 | a,bはa≧b>0を満たす整数とし,xとyの2次方程式x^2+ax+b=0,y^2+by+a=0がそれぞれ整数解をもつとする.(1)a=bとするとき,条件を満たす整数aをすべて求めよ.(2)a>bとするとき,条件を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ. |
| 2012 | 4 | m,pを3以上の奇数とし,mはpで割り切れないとする。(1)(x-1)^101の展開式におけるx^2の項の係数を求めよ。(2)(p-1)^m+1はpで割り切れることを示せ。(3)(n-1)^m+1はp^2で割り切れないことを示せ。(4)rを正の整数とし,s=3^(r-1)*mとする。2^s+1は3^rで割り切れることを示せ。 |
| 2013 | 2 | x>0とし,f(x)=log(x^100)とおく。(1)次の不等式を証明せよ。100/(x+1)<f(x+1)-f(x)<100/x(2)実数aの整数部分(k≦a<k+1となる整数k)を[a]で表す。整数[f(1)],[f(2)],[f(3)],…,[f(1000)]のうちで異なるものの個数を求めよ。必要ならばloq10=2.3026として計算せよ。 |
| 2013 | 3 | k,m,nは整数とし,n≧1とする。mCkを二項係数として,Sk(n),Tm(n)を以下のように定める。Sk(n)=1^k+2^k+3^k+…+n^k,Sk(1)=1(k?0),Tm(n)=mC1*S1(n)+mC2*S2(n)+mC3*S3(n)+..+mCm-1*Sm-1(n)=sig(k=1,m-1)mCk*Sk(n)(m≧2)(1)Tm(1)Tm(2)を求めよ。(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ。(3)pが3以上の素数のとき,Sk(p-1)(k=1,2,3,…,p-2)はpの倍数であることを示せ。 |
| 2014 | 4 | 負でない整数Nが与えられたとき,a1=N,an+1=[an/2](n=1,2,3,…)として数列{an}を定める。ただし[a]は,実数aの整数部分(k≦a<k+1となる整数k)を表す。(1)a3=1となるようなNをすべて求めよ。(2)0≦N<2^10をみたす整数Nのうちで,Nから定まる数列{an}のある項が2となるようなものはいくつあるか。(3)0から2^100-1までの2^100個の整数から等しい確率でNを選び,数列{an}を定める。次の条件(*)をみたす最小の正の整数mを求めよ。(*)数列{an}のある項がmとなる確率が1/100以下となる。 |
| 2015 | 2 | 次の間に答えよ。(1)α=sqrt(13)+(9+2sqrt(17))^(1/2)+(9-2sqrt(17))^(1/2)とするとき、整数係数の4次多項式f(x)でf(α)=0となるもののうち、x^4の係数が1であるものを求めよ。(2)8つの実数±sqrt(13)±(9+2sqrt(17))^(1/2)±(9-2sqrt(17))^(1/2)(ただし,複合±はすべての可能性にわたる)の中で,(1)で求めたf(x)に対して方程式f(x)=0の解となるものをすべて求め,それ以外のものが解でないことを示せ。(3)(2)で求めたf(x)=0の解の大小関係を調べ、それらを大きい順に並べよ。 |
| 2016 | 4 | 次の間に答えよ。ただし2次方程式の重解は2つと数える。(1)次の条件(*)を満たす整数a,b,c,d,e,fの組をすべて求めよ。(*)2次方程式x^2+ax+b=0の2つの解がc.dである。2次方程式x^2+cx+d=0の2つの解がe,fである。2次方程式x^2+ex+f=0の2つの解がa,bである。(2)2つの数列{an},{bn}は,次の条件(**)を満たすとする。(**)すべての正の整数nについて,an,bnは整数であり,2次方程式x^2+anx+bn=0の2つの解がan+1,bn+1である。このとき(i)正の整数mで,abs(bm)=|bm+1|=|bm+2|となるものが存在することを示せ。(ii)条件(**)を満たす数列{an},{bn}の組をすべて求めよ。 |
| 2018 | 3 | pを素数,a,bを整数とする。このとき、次の問に答えよ。(1)(a+b)^p-a^p-b^pはpで割り切れることを示せ。(2)(a+2)^p-a^pは偶数であることを示せ。(3)(a+2)^p-a^pを2pで割ったときの余りを求めよ。 |
| 2019 | 3 | 正の整数nの正の平方根は整数ではなく,それを10進法で表すと,小数第1位は0であり,第2位は0以外の数であるとする。(1)このようなnの中で最小のものを求めよ。(2)このようなnを小さいものから順に並べたときに10番目にくるものを求めよ。 |
| 2020 | 2 | 3つの数2,m^2+1,m^4+1が相異なる素数となる正の整数mが1つ固定されているものとする。以下の問に答えよ。(1)3つの数2,m^2+1,m^4+1のうち、1つをaとし,残りの2つをb,cとする。このときa^2<bcとなるaをすべて求めよ(2)正の整数x,yが(x+y)(x^2+2y^2+2xy)=2(m^2+1)*(m^4+1)をみたしているときx,yを求めよ。 |
| 2021 | 4 | 0≦a<1を満たす実数aに対し、数列{an}をa1=a,an+1=3[an+1/2]-2an(n=1,2,3,…)という漸化式で定める。ただし[x]はx以下の最大の整数を表す。以下の問に答えよ。(1)aが0≦a<1の範囲を動くとき,点(x,y)=(a1,a2)の軌跡をxy平面上に図示せよ。(2)an-[an]≧1/2ならば,an<an+1であることを示せ。(3)an>an+1ならば,an+1=3[an]-2anかつ[an+1]=[an]-1であることを示せ。(4)ある2以上の自然数kに対して,a1>a2>…>akが成り立つとする。このときakをaの式で表せ。 |
| 2023 | 4 | nを正の整数とし,n次の整式Pn(x)=x(x+1)…(x+n-1)を展開してPn(x)=sig(m-1,n)nBm*x^mと表す。m=1(1)等式sig(m-1,n)nBm=n!を示せ。(2)等式Pn(x+1)=sig(m=1,n)(nBm*mCo+nBm*mC1*x+…+nBm*mCm*x^m)を示せ。ただし,mCo,mC1,…,mCmは二項係数である。(3)k=1,2,…,nに対して,等式sig(j=k,n)nBj*jCk=(n+1)B(k+1)を示せ。 |
※問題文をすべて文字で表示していますので、わかり辛い箇所があります。ご了承ください。
※記号などは以下を参照してください【vec(OA)=OA,pi=円周率,abs(a)=aの絶対値,sig(k=a,b)=kをaからbまで足し合わせ,lim(n→a)=nをaに飛ばした時の極限,int(a,b)=aからbの範囲での積分】
※本ブログでは問題の傾向を見て、効率的にこれからの学習を進めていくために役立てていただくことを目標としています。ですので、解答は掲載しておりません。
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