2003年～2023年の21年分を分析
当ブログでは、2003年から2023年までの大学入試数学を分析しています。
過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。
”微分のみ”が出る確率は約5割!?
京都大学の特徴として、“微分のみ”分野の問題が多く出題されます。
2003年から2023年の21年間のうち、10年間で出題されております。なので、10/21=0.48より、“約5割”の確率で出題されているとわかります。
各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。
”微分のみ”の効率な学習法提案
京都大学の“微分のみ”分野の出題傾向はズバリ、
【グラフから最大最小を読み取るOR証明することが多い】です！
なので、グラフ問題に慣れるために、
【関数が絡んだ証明問題に重点的に取り組む】ことをお勧めします！
| 年 | 問 | 問題文 |
| 2005 | 5 | kを正の整数とし,2kpi≦x≦(2k+1)pの範囲で定義された2曲線C1:y=cosx,C2:y=(1-x^2)/(1+x^2)を考える.(1)C1とC2は共有点を持つことを示し,その点におけるC1の接線は点(0,1)を通ることを示せ.(2)C1とC2の共有点はただ1つであることを証明せよ. |
| 2006 | 3 | 関数y=f(x)のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのx≦0の部分は,軸がy軸に平行で,点(-1/2,1/4)を頂点とし,原点を通る放物線と一致している.このときx=-1におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ. |
| 2007 | 6 | すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0f(x)=1を満たし,さらに任意の実数a,bに対して1+f(a)f(b)≠0であってf(a+b):=f(a)+f(b)を満たしている.1+f(a)f(b)(1)任意の実数aに対して,-1<f(a)<1であることを証明せよ.(2)y=f(x)のグラフはx>0で上に凸であることを証明せよ. |
| 2008 | 1 | 直線y=pr+qが関数y=logxのグラフと共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条件を求めよ. |
| 2011 | 3 | xy平面上で,y=xのグラフとy=|(3/4)x^2-3|-2のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ. |
| 2013 | 4 | -pi/2≦x≦pi/2におけるcosx+(sqrt(3)/4)*x^2の最大値を求めよ。ただしpi>3.1およびsqrt(3)>1.7が成り立つことは証明なしに用いてよい. |
| 2014 | 3 | △ABCは、条件∠B=2∠A,BC=1を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする.このとき,cos∠Bを求めよ. |
| 2014 | 4 | 実数の定数a,bに対して,関数f(x)をf(x)=(ax+b)/(x^2+x+1)で定める.すべての実数xで不等式f(x)≦f(x)^3-2f(x)^2+2が成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ. |
| 2018 | 1 | 0でない実数a,b,cは次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする。(i)1+c^2≤2a.(ii)2つの放物線C1:y=ax^2とC2:y=b(x-1)^2+cは接している.ただし、2つの曲線が接するとは,ある共有点において共通の接線をもつことであり,その共有点を接点という.(1)C1C2の接点の座標をαとcを用いて表せ.(2)C1とC2の接点が動く範囲を求め,その範囲を図示せよ. |
| 2021 | 2 | 曲線y=(1/2)*(x^2+1)上の点Pにおける接線はx軸と交わるとし,その交点をQとおく.線分PQの長さをLとするとき,Lが取りうる値の最小値を求めよ. |
| 2021 | 6 | 問2 aを1より大きい定数とする.微分可能な関数f(x)がf(a)=af(1)を満たすとき,曲線y=f(x)の接線で原点(0,0)を通るものが存在することを示せ. |
※記号などは以下を参照してください【sqrt(a)=aの平方根,vec(OA)=OA,pi=円周率,abs(a)=aの絶対値,sig(k=a,b)=kをaからbまで足し合わせ,lim(n→a)=nをaに飛ばした時の極限,int(a,b)=aからbの範囲での積分】
※本ブログでは問題の傾向を見て、効率的にこれからの学習を進めていくために役立てていただくことを目標としています。ですので、解答は掲載しておりません。
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