【京大数学】”ベクトル”が出る確率は約9割!?

京都大学

2003年～2023年の21年分を分析

当ブログでは、2003年から2023年までの大学入試数学を分析しています。

過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。

”ベクトル”が出る確率は約9割!?

京都大学の特徴として、“ベクトル”分野の問題が多く出題されます。

2003年から2023年の21年間のうち、2004年・2005年・2007年を除いた年間で出題されております。なので、18/21=0.86より、“約9割”の確率で出題されているとわかります。

各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。

”ベクトル”の効率な学習法提案

京都大学の“ベクトル”分野の出題傾向はズバリ、
【空間ベクトルに関する問題が多い】です！

なので、効率よく点数を獲得するために、
【xyz空間が問題文に含まれる問題に重点的に取り組む】ことをお勧めします！

空間ベクトルは平面ベクトルに次元が１つ追加されただけなので、基本的に平面ベクトルが解ければ問題ないのですが、図示がとてもややこしく、コツがいります。

年問問題文
20033四面体OABCは次の2つの条件(i)OALBC,OBLAC,OCLAB(ii)4つの面の面積がすべて等しいをみたしている.このとき,この四面体は正四面体であることを示せ.
20062点Oを原点とする座標空間の3点をA(0,1,2),B(2,3,0),P(5+t,9+2t,5+3t)とする.線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ.またそのとき,交点の座標を求めよ.
20065△ABCに対し,辺AB上に点Pを,辺BC上に点Qを,辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる.この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ.
20086地球上の北緯60°東経135°の地点をA,北緯60°東経75°の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路R1,R2を考える.R1は西に向かって同一経度で飛ぶ経路とする.R2は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする.R1に比べてR2は飛行距離が3%以上短くなることを示せ.ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度を飛ぶものとする.また必要があれば,この冊子の5ページと6ページの三角関数表を用いよ.注:大円とは,球を球の中心を通る平面で切ったとき,その切り口にできる円のことである.
20091xyz空間でO(0,0,0),A3,0,0),B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,4),E(3,0,4),F(3,2,4),G(0,2,4)を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える.辺AEをs:1-sに内分する点をP,辺CGをt:1-tに内分する点をQとおく.ただし0<s<1,0<t<1とする.Dを通り,O,P,Qを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなs,tのみたす条件を求めよ.
20101四面体ABCDにおいてvec(CA)とvec(CB),vec(DA)とvec(DB),vec(AB)とvec(CD)はそれぞれ垂直であるとする。このとき,頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ.
20115xyz空間で,原点Oを中心とする半径aqrt(6)の球面Sと3点(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4)を通る平面αが共有点を持つことを示し,点(x,y,z)がその共有点全体の集合を動くとき,積xyzが取り得る値の範囲を求めよ.
20116空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点A,B,C,Dを同時に通る球面が存在することを示せ.
20122正四面体OABCにおいて,点P,Q,Rをそれぞれ辺OA,OB,OC上にとる。ただしP,Q,Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする.△PRQが正三角形ならば、3辺PQQR,RPはそれぞれ3辺AB,BC,CAに平行であることを証明せよ。
20131平行四辺形ABCDにおいて,辺ABを1:1に内分する点をE,辺BCを2:1に内分する点をF,辺CDを3:1に内分する点をGとする.線分CEと線分FGの交点をPとし,線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき,比AP:PQを求めよ.
20141座標空間における次の3つの直線l,m,nを考える:lは点A(1,0,-2)を通り,ベクトルvec(u)=(2,1,-1)に平行な直線である.mは点B(1,2,-3)を通り,ベクトルvec(v)=(1,-1,1)に平行な直線である.nは点C(1,-1,0)を通り,ベクトルvec(w)=(1,2,1)に平行な直線である.Pをl上の点として,Pからm,nへ下ろした垂線の足をそれぞれQ,Rとする.このとき,PQ^2+PR^2を最小にするようなPと,そのときのPQ^2+PR^2を求めよ.
20154一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて,Pを辺ABの中点とし,点Qが辺AC上を動くとする.このとき,cos∠PDQの最大値を求めよ.
20163四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体であることを示せ。条件:頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る.ただし、四面体のある頂点の対面とは,その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう.
20172四面体OABCを考える。点D,E,F,G,H,Iは,それぞれ辺OA,AB,BC,CO,OB,AC上にあり,頂点ではないとする.このとき,次の問に答えよ.(1)vec(DG)とvec(EF)が平行ならばAE:EB=CF:FBであることを示せ.(2)D,E,F,G,H,Iが正八面体の頂点となっているとき,これらの点はOABCの各辺の中点であり,OABCは正四面体であることを示せ.
20183αは0<a≦pi/2を満たす定数とし,四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える.(i)四角形ABCDは半径1の円に内接する.(ii)∠ABC=∠DAB=α.条件(i)と(ii)を満たす四角形のなかで,4辺の長さの積k=AB・BC・CD・DAが最大となるものについて,kの値を求めよ.
20186四面体ABCDはAC=BD,AD=BCを満たすとし,辺ABの中点をP,辺CDの中点をQとする.(1)辺ABと線分PQは垂直であることを示せ.(2)線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける.このとき,2つの部分の体積は等しいことを示せ.
20195半径1の球面上の5点A,B1,B2,B3,B4は,正方形B1B2B3B4を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき,四角錐AB1B2B3B4の体積の最大値を求めよ。
20203kを正の実数とする。座標空間において,原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A,B,C,Dが次の関係式を満たしている.vec(OA)・vec(OB)=vec(OC)・vec(OD)=1/2 vec(OA)・vec(0C)=vec(OB)・vec(OC)=-sqrt(6)/4 vec(OA)・vec(OD)=vec(OB)・vec(OD)=k このとき,kの値を求めよ。
20211次の各問に答えよ。問1xyz空間の3点A(1,0,0),B(0,-1,0),(0,0,2)を通る平面αに関して点P(1,1,1)と対称な点Qの座標を求めよ.ただし,点Qが平面αに関してPと対称であるとは,線分PQの中点Mが平面α上にあり,直線PMがPから平面αに下ろした垂線となることである.
20224四面体OABCがOA=4,OB=AB=BC=3,OC=AC=2*sqrt(3)を満たしているとする.Pを辺BC上の点とし,△OAPの重心をGとする.このとき,次の各問に答えよ.1.vec(PG)⊥vec(OA)を示せ.(2)Pが辺BC上を動くとき,PGの最小値を求めよ.
20232空間内の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする.点D,P,Qを次のように定める。点Dはvec(OD)=vec(OA)+2vec(0B)+3vec(0C)を満たし、点Pは線分OAを1:2に内分し、点Qは線分OBの中点である.さらに,直線OD上の点Rを,直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき,線分ORの長さと線分RDの長さの比OR:RDを求めよ.

コメント

タイトルとURLをコピーしました