2003年～2023年の21年分を分析
当ブログでは、2003年から2023年までの大学入試数学を分析しています。
過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。
”積分”が出る確率はほぼ100%!?
京都大学の特徴として、“積分”分野の問題が多く出題されます。
2003年から2023年の21年間のうち、2005 年を除いた20 年間で出題されております。なので、20/21=0.95より、“ほぼ100%”の確率で出題されているとわかります。
各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。
”積分”の効率な学習法提案
京都大学の“積分”分野の出題傾向はズバリ、
【三角関数が絡んだ問題が多い】です！半分以上が三角関数がらみです。
なので、積分問題を効率的に解くために、
【三角関数積分の定番である、t=tanθ/2で置換する方法の学習】をお勧めします！
この方法は、かなり多くの問題に対して有効ですので、使いこなせるようにしましょう。
| 年 | 問 | 問題文 |
| 2003 | 2 | f(x)=xsinx(x≧0)とする.点(pi/2,pi/2)におけるy=f(x)の法線と,y=f(x)のグラフの0≦x≦pi/2の部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える.この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ. |
| 2004 | 2 | a>0とし,x>0で定義された関数f(x)=((e/x^a)-1)*(logx/x)を考える.y=f(x)のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をaであらわせ.ただし,eは自然対数の底である. |
| 2006 | 6 | 0<α<pi/2として,関数F(θ)=int(0,θ)xcos(x+α)dxで定める。θが[0,pi/2]の範囲を動くとき,Fの最大値を求めよ. |
| 2007 | 1 | 以下の各問にそれぞれ答えよ。(1)定積分int(0,2)((2x+1)/sqrt(x^2+4))dxを求めよ |
| 2008 | 5 | 次の式で与えられる底面の半径が2,高さが1の円柱Cを考える。C={(x,y,z)|x^2+y^2≦4,0≦x≦1}xy平面上の直線y=1を含み,ry平面と45°の角をなす平面のうち,点(0,2,1)を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで二つに分けるとき,点(0,2,0)を含む方の体積を求めよ. |
| 2009 | 5 | xy平面上で原点を極,x軸の正の部分を始線とする極座標に関して,極方程式r=2+cosθ(0≦θ≦pi)により表される曲線をCとする.Cと軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ. |
| 2010 | 3 | aを正の実数とする.座標平面において曲線y=sinx(0≦x≦pi)とxx軸とで囲まれた図形の面積をSとし,曲線y=sinx(0≦x≦pi/2)曲線y=acosx(0≦x≦pi/2)およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする.このときS:T=3:1となるようなaの値を求めよ. |
| 2010 | 6 | n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる.各ボールはいずれかの箱に入るものとしどの箱に入る確率も等しいとする.どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をPnとする.このとき、極限値lim(n→∞)logPn/nを求めよ. |
| 2011 | 1 | (2)定積分int(0,1/2)(x+1)*sqrt(1-2x^2)dxを求めよ. |
| 2012 | 1 | (2)定積分int(1,sqrt(3))(1/x^2)*log(sqrt(1+x^2))dxの値を求めよ. |
| 2013 | 5 | xy平面内で,y軸上の点Pを中心とする円Cが2つの曲線C1:y=sqrt(3)*log(1+x),C2:y=sqrt(3)*log(1-x)とそれぞれ点A,点Bで接しているとする.さらに△PABはAとBがy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする.このとき3つの曲線C,C1,C2で囲まれた部分の面積を求めよ.ただし、2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。 |
| 2014 | 6 | 双曲線y=1/xの第1象限にある部分と,原点Oを中心とする円の第1象限にある部分を、それぞれC1,C2とする.C1とC2は2つの異なる点A,Bで交わり,点におけるC1の接線lと線分OAのなす角はpi/6であるとする.このとき,C1とC2で囲まれる図形の面積を求めよ. |
| 2015 | 1 | 2つの関数y=sin(x+pi/8)とy=sin2xのグラフの0≦x≦pi/2の部分で囲まれる領域を、x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.ただし,x=0とx=pi/2は領域を囲む線とは考えない. |
| 2016 | 4 | xyz空間において,平面y=zの中で|x|≤(e^y+e^(-y))/2-1,0≦y≦logaで与えられる図形Dを考える。ただしaは1より大きい定数とする.この図形Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ. |
| 2017 | 5 | a≧0とする.0≦x≦sqrt(2)の範囲で曲線y=xe^(-x),直線y=ax,直線x=sqrt(2)によって囲まれた部分の面積をS(a)とする.このとき,S(a)の最小値を求めよ.(ここで「囲まれた部分」とは,上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.) |
| 2018 | 5 | 曲線y=logx上の点A(t,logt)における法線上に,点BをAB=1となるようにとるただしBのx座標はtより大きいとする.(1)点Bの座標(u(t),v(t))を求めよ.また(du/dt,dv/dt)を求めよ.(2)実数rは0<r<1を満たすとし,tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれL1(r),L2(r)とする.このとき,極限lim(r→+0)(L1(r)-L2(r))を求めよ. |
| 2019 | 1 | 問2次の定積分の値を求めよ。(1)int(0,pi/4)(x/cosx^2)dx |
| 2019 | 1 | 問2次の定積分の値を求めよ。(2)int(0.pi/4)(1/cosx)dx |
| 2019 | 3 | 鋭角三角形ABCを考え,その面積をSとする。0<t<1をみたす実数tに対し,線分ACをt:1-tに内分する点をQ,線分BQをt:1-tに内分する点をPとする。実数tがこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と,線分BCによって囲まれる部分の面積を,Sを用いて表せ。 |
| 2020 | 6 | x,y,zを座標とする空間において,xx平面内の曲線x=sqrt(log(1+x))(0≦x≦1)を軸のまわりに1回転させるとき,この曲線が通過した部分よりなる図形をSとする.このSをさらにx軸のまわりに1回転させるとき,Sが通過した部分よりなる立体をVとする.このとき,Vの体積を求めよ。 |
| 2021 | 4 | 曲線y=log(1+cosx)の0≦x≦pi/2の部分の長さを求めよ. |
| 2022 | 5 | C:曲線:y=cosx^3(0≦x≦pi/2)x軸およびy軸で囲まれる図形の面積をSとする.0<t<pi/2とし,C上の点Q(t,cost^3)と原点0,およびP(t,0),R(0,cost^3)を頂点にもつ長方形OPQRの面積をf(t)とする.このとき,次の各問に答えよ.(1)Sを求めよ.(2)f(t)は最大値をただ1つのtでとることを示せ.そのときのtをαとすると,f(α)=cosα^4/3sinαであることを示せ.(3)f(α)/S<9/16を示せ |
| 2023 | 1 | 次の各問に答えよ.問1定積分int(1,4)sqrt(x)*log(x^2)dxの値を求めよ. |
| 2023 | 5 | Oを原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a),(b),(c)を満たしている.(a)点Pはx軸上にある.(b)点Qはyz平面上にある.(c)線分OPと線分OQの長さの和は1である.点Pと点Qが条件(a),(b),(c)を満たしながらくまなく動くとき,線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ. |
※記号などは以下を参照してください【sqrt(a)=aの平方根,vec(OA)=OA,pi=円周率,abs(a)=aの絶対値,sig(k=a,b)=kをaからbまで足し合わせ,lim(n→a)=nをaに飛ばした時の極限,int(a,b)=aからbの範囲での積分】
※本ブログでは問題の傾向を見て、効率的にこれからの学習を進めていくために役立てていただくことを目標としています。ですので、解答は掲載しておりません。
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