2003年～2023年の21年分を分析
当ブログでは、2003年から2023年までの大学入試数学を分析しています。
過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。
”確率”が出る確率は9割超!?
京都大学の特徴として、“確率”分野の問題が多く出題されます。
2003年から2023年の21年間のうち、2006年・2010年を除いた年間で出題されております。なので、19/21=0.905より、“9割超”の確率で出題されているとわかります。
各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。
”確率”の効率な学習法提案
京都大学の“確率”分野の出題傾向はズバリ、
【長文でややこしい操作が伴う場合が多い】です！
なので、初見のややこしい操作に対してじっくり考えて対処できるようになるために、
【制限時間を設けず、問題文をじっくり咀嚼し、実際に試行して考えてみる】ことをお勧めします！
| 年 | 問 | 問題文 |
| 2003 | 6 | nチームがリーグ戦を行う.すなわち,各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし,勝つ確率はすべて1/2で、各回の勝敗は独立に決まるものとする.このとき,(n-2)勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ.ただし,nは3以上とする. |
| 2004 | 6 | Nを自然数とする。N+1個の箱があり,1からN+1までの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている.番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で,番号N+1の箱に入っている玉は赤玉である.次の操作(*)を,おのおののk=1,2,…,N+1に対して,kが小さい方から順番に1回ずつ行う.(*)k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び,その箱の中身と番号にの箱の中身を交換する.(ただし,N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は,どれも同様に確からしいとする.)操作がすべて終了した後,赤玉が番号N+1の箱に入っている確率を求めよ. |
| 2005 | 6 | 先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただしn≧2とする.各車両を赤色、青色,黄色のいずれか一色で塗るとき,隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか. |
| 2007 | 1 | (2)1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか. |
| 2008 | 2 | 正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し,1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに,等しい確率で動くとする.このとき,時刻0から時刻nまでの間に,4頂点A,B,C,Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする. |
| 2009 | 3 | n枚のカードを積んだ山があり、各カードには上から順番に1からnまで番号がつけられている.ただしn≧2とする.このカードの山に対して次の試行を繰り返す.1回の試行では,一番上のカードを取り,山の一番上にもどすか,あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う.これら通りの操作はすべて同じ確率であるとする.n回の試行を終えたとき,最初一番下にあったカード(番号n)が山の一番上にきている確率を求めよ. |
| 2011 | 1 | 次の各問に答えよ.(1)箱の中に,1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする.この箱から2枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をXとする.これらのカードを箱に戻して、再び2枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をYとする.X=Yである確率を求めよ. |
| 2012 | 6 | さいころをn回投げて出た目を順にX1,X2,…,Xnとする.さらにY1=X1,Yk=Xk+1/Yk-1(k=2,…,n)によってY1,Y2,…Ynを定める.(1+sqrt(3))/2≤Yn≤1+sqrt(3)となる確率pnを求めよ. |
| 2013 | 6 | 投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し,裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称な点に石を移動する.(1)石が座標xの点にあるとする.2回硬貨を投げたとき,石が座標xの点にある確率を求めよ.(2)石が原点にあるとする.nを自然数とし2n回硬貨を投げたとき,石が座標2n-2の点にある確率を求めよ. |
| 2014 | 2 | 2つの粒子が時刻0において△ABCの頂点Aに位置している。これらの粒子は独立に運動し,それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする。たとえば,ある時刻で点にいる粒子は,その1秒後には点Aまたは点Bにそれぞれ1/2の確率で移動する.この2つの粒子が,時刻0のn秒後に同じ点にいる確率p(n)を求めよ. |
| 2015 | 6 | 2つの関数をfo(x)=x/2,f1(x)=(x+1)/2とおく.xo=1/2から始め、各n=1,2,…について,それぞれ確率1/2でxn=fo(xn-1)またはxn=f1(xn-1)と定める.このとき,xn<2/3となる確率を求めよ. |
| 2016 | 5 | xy平面上の6個の点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)が図のように長さ1の線分で結ばれている.動点Xは,これらの点の上を次の規則に従って1秒ごとに移動する規則:動点Xは,そのときに位置する点から出る長さ1の線分によって結ばれる図の点のいずれかに,等しい確率で移動する.例えば,Xが(2,0)にいるときは,(1,0),(2,1)のいずれかに1/2の確率で移動する。またXが(1,1)にいるときは,(0,1),(1,0),(2,1)のいずれかに1/3の確率で移動する。時刻0で動点XがO=(0,0)から出発するとき,n秒後にXのx座標が0である確率を求めよ.ただしnは0以上の整数とする. |
| 2017 | 6 | nを自然数とする.n個の箱すべてに1,2,3,4,5の5種類のカードが1枚ずつ計5枚入っている.各々の箱から1枚ずつカードを取り出し、取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る.このとき,Xが3で割り切れる確率を求めよ. |
| 2018 | 4 | コインをn回投げて複素数z1,z2,…,znを次のように定める.(i)1回目に表が出ればz1=(-1+sqrt(3)*i)/2とし,裏が出ればz1=1とする.(ii)k=2,3,…,nのときにk回目に表が出ればzk=((-1+sqrt(3)*i)/2)*zkとし,裏が出ればzk=(zkの共役の複素数)とする.このとき,zn=1となる確率を求めよ. |
| 2019 | 4 | 1つのさいころをn回続けて投げ、出た目を順にX1,X2,…,X,とする。このとき次の条件をみたす確率をnを用いて表せ。ただしX0=0としておく。条件:1≦k≦nをみたすkのうち,Xk-1≦4かつXk≧5が成立するようなkの値はただ1つである。 |
| 2020 | 5 | 縦4個,横4個のマス目のそれぞれに1,2,3,4の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい,縦の並びを列という.どの行にも,どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ.下図はこのような入れ方の1例である. |
| 2021 | 1 | 問2赤玉,白玉,青玉,黄玉が1個ずつ入った袋がある.よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し,その玉の色を記録してから袋に戻す.この試行を繰り返すとき,n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただしは4以上の整数とする. |
| 2022 | 2 | 箱の中に1から7までの番号がついたn枚の札がある。ただし≧5とし、同じ番号の札はないとする.この箱から3枚の札を同時に取り出し,札の番号を小さい順にX,Y,Zとする.このとき,Y-X≧2かつZ-Y≧2となる確率を求めよ. |
| 2023 | 3 | nを自然数とする.1個のさいころをn回投げ、出た目を順にX1,X2,とし、n個の数の積X1X2・・・・・・XnをYとする.(1)Yが5で割り切れる確率を求めよ.(2)Yが15で割り切れる確率を求めよ. |
※記号などは以下を参照してください【sqrt(a)=aの平方根,vec(OA)=OA,pi=円周率,abs(a)=aの絶対値,sig(k=a,b)=kをaからbまで足し合わせ,lim(n→a)=nをaに飛ばした時の極限,int(a,b)=aからbの範囲での積分】
※本ブログでは問題の傾向を見て、効率的にこれからの学習を進めていくために役立てていただくことを目標としています。ですので、解答は掲載しておりません。
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