2003年～2023年の21年分を分析
当ブログでは、2003年から2023年までの大学入試数学を分析しています。
過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。
”整数”が出る確率は90%!?
京都大学の特徴として、整数分野の問題が多く出題されます。
2003年から2023年の21年間のうち、2003年・2004年・2008・2011年を除いた17年間で出題されております。なので、18/21=0.809より、８割超の確率で出題されているとわかります。
また、2012年からは毎年出題されているため、今年も必ず出題されるでしょう。
各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。
”整数”の効率な学習法提案
京都大学の確率分野の出題傾向はズバリ、
【”素”がPOINT!！】です！
素数や、互いに素などの問題が多く出題される傾向があります。なので、
【素数の性質・互いに素の言い換えを重点的に学習する】ことをお勧めします！
「素数であれば６で割ると±１余る」「互いに素とは、共通の素因数がないことである」といったように、素数とは何か・互いに素とは何かを学ぶことで証明問題が解きやすくなると思います。
| 2005 | 4 | a^3-b^3=217を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ. |
| 2006 | 4 | 2以上の自然数nに対し,nとn^2+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ. |
| 2007 | 3 | pを3以上の素数とする.4個の整数a,b,c,dが次の3条件a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,abcdを満たすとき,a,b,c,dをpを用いて表せ. |
| 2009 | 6 | aとbを互いに素,すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし,さらにaは奇数とする.正の整数nに対して整数an,bnを(a+b*sqrt(2))^n=an+bn*sqrt(2)をみたすように定めるとき、次の(1),(2)を示せ.ただし√2が無理数であることは証明なしに用いてよい.(1)a2は奇数であり,a2とb2は互いに素である.(2)すべてのnに対して,anは奇数であり,anとbnは互いに素である. |
| 2010 | 5 | 次の間に答えよ。(1)nを正の整数,a=2^nとする.3^a−1は2^(n+2)で割り切れるが2^(n+3)では割り切れないことを示せ.(2)mを正の偶数とする.3^m-1が2^mで割り切れるならばm=2またはm=4であることを示せ. |
| 2012 | 4 | (1)sqrt3(2)が無理数であることを証明せよ。(2)P(x)は有理数を係数とするの多項式で,P(sqrt3(2))=0を満たしているとする.このときP(x)はx^3-2で割り切れることを証明せよ. |
| 2013 | 3 | nを自然数とし,整式x^nを整式x^2-2x-1で割った余りをax+bとする.このときaとbは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ. |
| 2014 | 5 | 自然数α,bはどちらも3で割り切れないが,a^3+b^3は81で割り切れる。このようなa,bの組(a,b)のうち,a^2+b^2の値を最小にするものと,そのときのa^2+b^2の値を求めよ. |
| 2015 | 5 | a,b,c,d,eを正の実数として整式f(x)=ax^2+bx+c,g(x)=dx+eを考える.すべての正の整数nに対してf(n)/g(n)は整数であるとする.このとき,f(x)はg(x)で割り切れることを示せ. |
| 2016 | 2 | 素数pgを用いてp^q+q^pと表される素数をすべて求めよ. |
| 2017 | 3 | p,qを自然数,α,βをtanα=1/p,tanβ=1/qを満たす実数とする.このときtan(α+2β)=2を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ。 |
| 2018 | 2 | n^3-7+9が素数となるような整数nをすべて求めよ. |
| 2019 | 2 | f(x)=x^3+2x^2+2とする。|f(n)|と|f(n+1)|がともに素数となる整数nをすべて求めよ。 |
| 2020 | 4 | 正の整数aに対して、a=3^b*c(b,cは整数でcは3で割り切れない)の形に書いたとき,B(a)=bと定める.例えば,B(3^2*5)=2である.m,nは整数で,次の条件を満たすとする.(i)1≤m≤30.(ii)1≤n≤30.(iii)nは3で割り切れない.このような(m,n)についてf(m,n)=m^3+n^2+n+3とするとき,A(m,n)=B(f(m,n))の最大値を求めよ.また,A(m,n)の最大値を与えるような(m,n)をすべて求めよ. |
| 2021 | 6 | 次の各問に答えよ。問1 nを2以上の整数とする.3^2-2^2が素数ならばnも素数であることを示せ. |
| 2022 | 3 | nを自然数とする.3つの整数n^2+2,n^4+2,n^6+2の最大公約数Anを求めよ. |
| 2023 | 6 | pを3以上の素数とする.また,θを実数とする。(1)cos3θとcos4θをcosθの式として表せ.(2)cosθ=1/pのとき,θ=m/n*piとなるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ |
※記号などは以下を参照してください【sqrt(a)=aの平方根,vec(OA)=OA,pi=円周率,abs(a)=aの絶対値,sig(k=a,b)=kをaからbまで足し合わせ,lim(n→a)=nをaに飛ばした時の極限,int(a,b)=aからbの範囲での積分】
※本ブログでは問題の傾向を見て、効率的にこれからの学習を進めていくために役立てていただくことを目標としています。ですので、解答は掲載しておりません。
コメント