2003年～2023年の21年分を分析
当ブログでは、2003年から2023年までの大学入試数学を分析しています。
過去問の問題文をデータ化し、統計を取ったり文字列を抽出したりすることで、効率的な学習方法を皆さんにお届けいたします。
”三角関数”が出る確率は3/4!?
京都大学の特徴として、“三角関数”分野の問題が多く出題されます。
2003年から2023年の21年間のうち、2007年・2008年・2011年・2012年・2011年・2017年・2018年を除いた14年間で出題されております。なので、14/21=0.75より、“75%”の確率で出題されているとわかります。
各年の問題を記しますので、ぜひ取り組んでみてください！答えがどうなるかではなく、傾向を掴むために問題文をきちんと咀嚼してください。
”三角関数”の効率な学習法提案
京都大学の“三角関数”分野の出題傾向はズバリ、
【必ず他分野と絡む】です！特に、微積と絡みます。
なので、三角関数の微積をきちんと解くために、
【三角公式を導入から理解する】ことをお勧めします！
| 年 | 問 | 問題文 |
| 2003 | 2 | f(x)=xsinx(x≧0)とする.点(pi/2,pi/2)におけるy=f(x)の法線と,y=f(x)のグラフの0≦x≦pi/2の部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える.この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ. |
| 2004 | 1 | f(θ)=cos4θ-4sinθ^2とする.0≦θ≦3pi/4におけるf(θ)の最大値および最小値を求めよ. |
| 2005 | 5 | kを正の整数とし,2kpi≦x≦(2k+1)pの範囲で定義された2曲線C1:y=cosx,C2:y=(1-x^2)/(1+x^2)を考える.(1)C1とC2は共有点を持つことを示し,その点におけるC1の接線は点(0,1)を通ることを示せ.(2)C1とC2の共有点はただ1つであることを証明せよ. |
| 2006 | 6 | 0<α<pi/2として,関数F(θ)=int(0,θ)xcos(x+α)dxで定める。θが[0,pi/2]の範囲を動くとき,Fの最大値を求めよ. |
| 2009 | 5 | xy平面上で原点を極,x軸の正の部分を始線とする極座標に関して,極方程式r=2+cosθ(0≦θ≦pi)により表される曲線をCとする.Cと軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ. |
| 2010 | 3 | aを正の実数とする.座標平面において曲線y=sinx(0≦x≦pi)とxx軸とで囲まれた図形の面積をSとし,曲線y=sinx(0≦x≦pi/2)曲線y=acosx(0≦x≦pi/2)およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする.このときS:T=3:1となるようなaの値を求めよ. |
| 2013 | 4 | -pi/2≦x≦pi/2におけるcosx+(sqrt(3)/4)*x^2の最大値を求めよ。ただしpi>3.1およびsqrt(3)>1.7が成り立つことは証明なしに用いてよい. |
| 2014 | 3 | △ABCは、条件∠B=2∠A,BC=1を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする.このとき,cos∠Bを求めよ. |
| 2015 | 1 | 2つの関数y=sin(x+pi/8)とy=sin2xのグラフの0≦x≦pi/2の部分で囲まれる領域を、x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.ただし,x=0とx=pi/2は領域を囲む線とは考えない. |
| 2015 | 4 | 一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて,Pを辺ABの中点とし,点Qが辺AC上を動くとする.このとき,cos∠PDQの最大値を求めよ. |
| 2016 | 1 | (1)nを2以上の自然数とするとき,関数fn(θ)=(1+cosθ)sinθ^(n-1)における最大値Mnを求めよ.(2)lim(n→∞)(Mn)^nを求めよ. |
| 2019 | 1 | 次の各問に答えよ。問1 0<θ<pi/2とする。cos0は有理数ではないが,cos20とcos30がともに有理数となるような0の値を求めよ。ただし,pが素数のとき,sqrt(p)が有理数でないことは証明なしに用いてよい。 |
| 2019 | 1 | 問2次の定積分の値を求めよ。(1)int(0,pi/4)(x/cosx^2)dx |
| 2019 | 1 | 問2次の定積分の値を求めよ。(2)int(0.pi/4)(1/cosx)dx |
| 2020 | 2 | pを正の整数とする.α,βはxに関する方程式x^2-2px-1=0の2つの解で,|α|>1であるとする.(1)すべての正の整数nに対し,α^n+β^nは整数であり,さらに偶数であることを証明せよ.(2)極限lim(n→∞)((-a)^n)*sin((α^n)*pi)を求めよ. |
| 2021 | 3 | 無限級数sig(n=0,∞)(1/2)^n*cos(n*pi/6)の和を求めよ. |
| 2021 | 4 | 曲線y=log(1+cosx)の0≦x≦pi/2の部分の長さを求めよ. |
| 2022 | 5 | C:曲線:y=cosx^3(0≦x≦pi/2)x軸およびy軸で囲まれる図形の面積をSとする.0<t<pi/2とし,C上の点Q(t,cost^3)と原点0,およびP(t,0),R(0,cost^3)を頂点にもつ長方形OPQRの面積をf(t)とする.このとき,次の各問に答えよ.(1)Sを求めよ.(2)f(t)は最大値をただ1つのtでとることを示せ.そのときのtをαとすると,f(α)=cosα^4/3sinαであることを示せ.(3)f(α)/S<9/16を示せ |
| 2022 | 6 | 数列{xn},{yn}を次の式x1=0,xn+1=xn+n+2cos(2pi*xn/3)(n=1,2,3,…),y3m+1=3m,y3m+2=3m+2,3m+2,y3m+3==3m+4(m=0,1,2,…)により定める.このとき,数列{xn-yn}の一般項を求めよ. |
| 2023 | 6 | pを3以上の素数とする.また,θを実数とする。(1)cos3θとcos4θをcosθの式として表せ.(2)cosθ=1/pのとき,θ=m/n*piとなるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ |
※記号などは以下を参照してください【sqrt(a)=aの平方根,vec(OA)=OA,pi=円周率,abs(a)=aの絶対値,sig(k=a,b)=kをaからbまで足し合わせ,lim(n→a)=nをaに飛ばした時の極限,int(a,b)=aからbの範囲での積分】
※本ブログでは問題の傾向を見て、効率的にこれからの学習を進めていくために役立てていただくことを目標としています。ですので、解答は掲載しておりません。
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